\chapter{Regulacja poziomu cieczy}

\begin{figure}[!ht]
	\begin{center}
		\includegraphics[width=14cm]{img/uklad_regulacji}
		\caption{Układ Automatycznej Regulacji \cite{wiki}}
		\label{uklad_regulacji}
	\end{center}
\end{figure}

W automatyce spotykamy się z wieloma różnymi metodami regulacji wartości. Najczęściej stosowanymi sposobami są regulacja dyskretna (dwustawna bądź trójstawna) oraz ciągła regulacja PID\footnote{ang. Proportional-Integral-Derivative controller - regulator proporcjonalno-całkująco-różniczkujący}. Sygnały regulacji powstają w regulatorze w wyniku określenia uchybu regulacji, a następnie odpowiedniego uformowania wartości wyjściowej. W regulatorach o działaniu ciągłym wielkość wyjściowa jest funkcją ciągłą wielkości wejściowej. W regulatorach dyskretnych wartość wyjściowa przyjmuje jeden z $n$ stanów, zależnie od przedziału, w którym znajduje się wartość wejściowa. Znane są również połączenia tych dwóch typów regulatorów, np.: regulator dwustawny z elementem inercyjnym drugiego rzędu w roli sprzężenia korekcyjnego \cite{Brzozka} - regulator ten ma podobne właściwości do regulatora PD. Zastosowanie takiego sprężenia nie wpływa na wartość błędu w stanie ustalonym, jednak znacząco wpływa na jakość regulacji. Dobór typu regulatora zależy zwykle od jego zastosowania. Regulatory dyskretne stosuje się tam, gdzie wartość regulowana nie musi mieć wysokiej dokładności (np.: regulacja temperatury w pokoju), bądź tam gdzie wydajność urządzeń wykonawczych nie może być płynnie regulowana. 

Przebiegi czasowe regulatorów omówionych w tym rozdziale pochodzą ze środowiska MATLAB/Simulink. Wszystkie pliki symulacyjne znajdują się na załączonej płycie CD w katalogu \textit{$\backslash$projekty$\backslash$MATLAB$\backslash$}

\newpage
\section{Sterowanie dwustawne}
\begin{figure}[!ht]
	\begin{center}
		\includegraphics[width=12cm]{img/regulacja_dwustawna}
		\caption{Charakterystyki statyczne ($u$ - sygnał wyjściowy, $e$ - sygnał wejściowy regulatora, $H = e_2 - e_1$ - strefa histerezy) \cite{Brzozka}}
		\label{regulacja_dwustawna}
	\end{center}
\end{figure}

Regulatory posiadające nieliniową i nieciągłą charakterystykę przedstawioną na rysunku \ref{regulacja_dwustawna} nazywane są regulatorami dwustawnymi lub dwupołożeniowymi. Sygnał wyjściowy takich urządzeń może przyjmować tylko dwa stany logiczne - stan logicznego zera lub stan logicznej jedynki. Wprowadzenie takiego elementu do układu automatycznej regulacji powoduje, że cały układ staje się nieliniowy. Niesie to za sobą następujące konsekwencje:
\begin{itemize}
 \item w układach nieliniowych nie występuje zasada superpozycji,
 \item charakter odpowiedzi zależy od wartości amplitudy wymuszenia, a częstotliwość sygnału odpowiedzi nie jest równa częstotliwości wymuszenia (mogą wystąpić składowe sygnału o częstotliwościach wyższych albo niższych niż częstotliwość sygnału wymuszającego),
 \item stabilność takiego układu zależy od warunków początkowych.
\end{itemize}

Do elementów dwustawnych zaliczamy przekaźniki (elektroniczne bądź elektromechaniczne), styczniki, tyrystory itp. Schemat blokowy układu regulacji dwupołożeniowej jest przedstawiony na rysunku \ref{dwustawna_mdl}. Przyjęto w nim model obiektu w postaci członu inercyjnego pierwszego rzędu z opóźnieniem (odpowiada to obiektom rzeczywistym o wysokim rzędzie inercji). Regulacja dwustawna stosowana jest do obiektów inercyjnych lub całkujących (z opóźnieniem) mających duże stałe czasowe (regulacja ciśnienia, poziomu cieczy czy temperatury). W zależności od zastosowania możemy wyróżnić różne typy regulatorów dwustawnych:
\begin{itemize}
 \item \textit{termostaty} - służące do regulacji temperatury,
 \item \textit{presostaty} - służące do regulacji ciśnienia,
 \item \textit{mobreye} - służące do regulacji poziomu cieczy.
\end{itemize}

\begin{figure}[!ht]
	\begin{center}
		\includegraphics[width=12cm]{img/dwustawna_mdl}
		\caption{Schemat blokowy układu dwustawnej regulacji automatycznej}
		\label{dwustawna_mdl}
	\end{center}
\end{figure}

Działanie układu regulacji polega na tym, że gdy uchyb regulacji $e > 0$, czyli $y_0 > y(t)$, to sygnał wyjściowy przyjmuje stan logicznej jedynki, natomiast gdy $e < 0$, czyli $y_0 < y(t)$, to sygnał wyjściowy przyjmuje stan zera logicznego (rys. \ref{dwustawna_sim}). W układzie regulacji w stanie ustalonym oscylacje wielkości regulowanej $y(t)$ zachodzą wokół wartości średniej $y_r$ (dla modelu obiektu w postaci inercji pierwszego rzędu z opóźnieniem). Przy czym wartość ta wyznaczana jest w następujący sposób: 
\begin{equation}
y_r = \frac{y_{min} + y_{max}}{2}
\label{eqn:2st_yr}
\end{equation}
W stanie ustalonym wartość średnia $y_r$ może różnić się od wartości zadanej $y_0$ dając błąd ustalony: 
\begin{equation}
e_{ust} = y_0 - y_r
\label{eqn:2st_blad}
\end{equation}
Błąd ten nie występuje w przypadku, gdy wartość zadana $y_0 = 0.5$, wtedy $ y_r = y_0 $ a czasy załączenia i wyłączenia są sobie równe.

\begin{figure}[!ht]
	\begin{center}
		\includegraphics[width=12cm]{img/dwustawna_sim}
		\caption{Przebieg sygnału wielkości regulowanej $y(t)$ oraz sygnału wyjściowego $u(t)$ w układzie regulacji dwustawnej ($y_0 = 0.3$)}
		\label{dwustawna_sim}
	\end{center}
\end{figure}

W celu poprawy jakości regulacji stosuje się regulację dwustawną z korekcją dynamiczną w postaci dodatkowego ujemnego sprzężenia zwrotnego wokół elementu przekaźnikowego (rys. \ref{dwustawna_fb}). Zastosowanie korekcji dynamicznej prowadzi do zwiększenia częstotliwości łączeń, a przez to do zmniejszenia amplitudy oscylacji wielkości regulowanej. Jeżeli w roli sprzężenia zwrotnego zastosuje się obiekt inercyjny pierwszego rzędu taki regulator będzie miał właściwości zbliżone do regulatora ciągłego typu PD.
\\
\begin{figure}[!ht]
	\begin{center}
		\includegraphics[width=10cm]{img/dwustawna_fb}
		\caption{Regulator dwustawny z elementem inercyjnym pierwszego rzędu w roli sprzężenia korekcyjnego}
		\label{dwustawna_fb}
	\end{center}
\end{figure}

\section{Sterownie trójstawne}

\begin{figure}[!ht]
	\begin{center}
		\includegraphics[width=8cm]{img/regulacja_trojstawna}
		\caption{Charakterystyka statyczna obiektu trójstawnego ($s$ - sygnał wyjściowy, $e$ - sygnał wejściowy regulatora, $H$ - strefa histerezy, $N$ - strefa nieczułości) \cite{Brzozka}}
		\label{regulacja_trojstawna}
	\end{center}
\end{figure}

Regulatory trójstawne posiadają trój-stanową ($-1$, $0$, $+1$) charakterystykę statyczną przedstawioną na rysunku \ref{regulacja_trojstawna}. W porównaniu do regulatorów dwustawnych posiadają dodatkowy parametr (oprócz strefy histerezy $H$) - strefę nieczułości $N$. Dlatego dla tego typu układów jako parametr podaje się stosunek tych wartości - $\frac{H}{N}$. Regulatory trójpołożeniowe stosowane są najczęściej w układach, gdzie zachodzi zarówno nagrzewanie (odpowiada to stanowi $1$) jak i chłodzenie (co odpowiada stanowi $-1$) - lub napełnianiu i opróżnianiu w przypadku sterowania poziomu cieczy lub ciśnienia. Często w celu poprawy działania regulatora trójstawnego stosuje się ujemne sprzężenie zwrotne zawierające element inercyjny kształtujący właściwości dynamiczne całego układu. 

Schemat blokowy regulatora trójstawnego prezentuje rysunek \ref{trojstawna_mdl}.
\begin{figure}[!ht]
	\begin{center}
		\includegraphics[width=15cm]{img/trojstawna_mdl}
		\caption{Schemat blokowy regulatora trójstawnego}
		\label{trojstawna_mdl}
	\end{center}
\end{figure}

Istotne znaczenie regulatorów trójpołożeniowych wynika z ich możliwości sterowania silnikami nawrotnymi. Trzy stany na wyjściu regulatora odpowiadają kierunkowi obrotów w lewo, w prawo oraz zatrzymaniu silnika. 
Przebiegi czasowe regulator trójpołożeniowego przedstawione są na rysunku \ref{trojstawna_sim}
\begin{figure}[!ht]
	\begin{center}
		\includegraphics[width=14cm]{img/trojstawna_sim}
		\caption{Charakterystyki dynamiczne obiektu trójstawnego}
		\label{trojstawna_sim}
	\end{center}
\end{figure}
[coś dopisać]

\newpage
\section{Regulacja ciągła - PID}
Postać czasową idealnego regulatora proporcjonalno-całkująco-różniczkującego (PID) można zapisać w następujący sposób: 
\begin{equation}
u(t) = k_{p} \left( e(t) + \frac{1}{T_i} \int_{0}^{\tau} e(\tau) d\tau + T_{d} \frac{de(t)}{dt} \right) 
\label{eqn:pid}
\end{equation}

\begin{tabular}{ l l }
 gdzie: & \\
 & $k_{p}$ - współczynnik wzmocnienia \\
 & $ $ $T_i$ - czas całkowania \\
 & $T_{d}$ - czas różniczkowania \\
\end{tabular}

Transmitancja operatorowa takiego regulatora ma następującą postać:
\begin{equation}
G_{PID}(s) = k_{p} \left( 1 + \frac{1}{T_is} + T_{d}s \right)
\label{eqn:pid_transm}
\end{equation}

Jak wiadomo, niemożliwe jest fizyczne zrealizowanie idealnego elementu różniczkującego, dlatego też transmitancja rzeczywistego regulatora PID (rysunek \ref{pid_mdl}) ma postać:
\begin{equation}
G_{PID}(s) = k_{p} \left( 1 + \frac{1}{T_is} + \frac{T_{d}s}{1 + Ts} \right)
\label{eqn:}
\end{equation}

\begin{tabular}{ l l }
gdzie: & \\
 & $T$ - stała czasowa inercji regulatora \\
\end{tabular}

\begin{figure}[!h]
	\begin{center}
		\includegraphics[width=14cm]{img/pid_mdl}
		\caption{Schemat blokowy regulatora PID}
		\label{pid_mdl}
	\end{center}
\end{figure}

Do zmiany odpowiedzi regulatora służą parametry: $k_p$, $T_i$, $T_{d}$ zwane nastawami regulatora. W zależności od przyjętych nastaw regulatora możemy uzyskać obiekty o właściwościach $P$, $I$, $PI$, $PD$ oraz $PID$ - odpowiednio regulator proporcjonalny, całkowy, proporcjonalno różniczkowy i proporcjonalno-całkowo-różniczkowy. ``Regulatory o właściwościach wyłącznie $D$ nie mogą spełniać zadań regulacji automatycznej, a regulatory $ID$ zwykle nie są przydatne do regulacji automatycznej.'' \cite{Klimesz_Solnik}

\paragraph{Zakres proporcjonalności $k_p$} regulatora jest to odwrotność współczynnika wzmocnienia proporcjonalnego wyrażona w procentach: 
\begin{equation}
k_ p= \frac{100\%}{k_{p}}
\label{eqn:pid_zp1}
\end{equation}
przy czym $k_{p}$ to iloraz składowej proporcjonalnej wielkości wyjściowej regulatora do przyrostu odchyłki regulacji. Parametr $k_p$ można określić następującą zależnością: 
\begin{equation}
 k_p = \frac{\Delta{I_{we}}}{\Delta{I_{wy}}}100\% = \frac{I_{we2}}{I_{wy2} - I_{wy1}} 100\% 
\label{eqn:pid_zp1}
\end{equation}

\begin{center}
\begin{tabular}{l r p{13cm} }
Gdzie: & & \\ 
& $I_{we2}$ & wartość wielkości wejściowej przy zerowej nastawie wartości zadanej i wartości wielkości wyjściowej w granicach $ 50 \% ±  20 \% $ \\
& $I_{wy1}$ & zmierzona wartość sygnału wyjściowego w momencie ustalenia się sygnału wyjściowego po zmianie sygnału wejściowego z $I_{we2}$ na $I_{we1}$ \\
& $I_{wy2}$ & zmierzona wartość sygnału wyjściowego po czasie zawierającym się w granicach $0,1 T_i - 2 T_i$ od momentu podania na wejście sygnału $I_{we2}$, w chwili zmiany wartości tego sygnału z $I_{we2}$ na $I_{we1}$. \\
\end{tabular}
\end{center}

\paragraph{Czas zdwojenia $T_i$} (zwany stałą całkowania) określa czas potrzebny na to, by przy wymuszeniu skokowym na wejściu regulatora uzyskać na jego wyjściu sygnał dwukrotnie większy od tego, który wynika ze współczynnika $k_p$

\paragraph{Czas wyprzedzenia $T_d$}, to czas, po upływie którego od podania na wejście regulatora $PD$ sygnału narastającego liniowo, sygnał na wyjściu regulatora osiągnął dwukrotną wartość tej, która wynika z działania różniczkowego.

Regulację PID wykonuje się najczęściej w zamkniętej pętli sprzężenia zwrotnego. Model i odpowiedź układu na skok jednostkowy przedstawione są na rysunku \ref{regulacja_pid}.

\begin{figure}[!h]
	\begin{center}
	    \subfigure[Model]{\label{pid_petla_mdl}\includegraphics[width=8cm]{img/pid_petla_mdl}}
    	\subfigure[Symulacja]{\label{pid_sim}\includegraphics[width=6cm]{img/pid_sim}}
		\caption{Układ automatycznej regulacji PID}
		\label{regulacja_pid}
	\end{center}
\end{figure}



\newpage
\subsection{Identyfikacja obiektu}

\begin{figure}[!ht]
	\begin{center}
		\includegraphics[height=12cm]{img/identyfikacja_schemat}
		\caption{Schemat blokowy eksperymentu identyfikacji \cite{ident}}
		\label{identyfikacja_schemat}
	\end{center}
\end{figure}
W celu uzyskania  dobrej jakości regulacji w układach sterowania konieczna jest znajomość danego obiektu, czyli opis zależności wejściowo-wyjściowych. Opis taki ma zazwyczaj postać przybliżonego modelu matematycznego, danego na przykład w postaci równań różniczkowych lub różnicowych bądź w postaci odpowiednich transmitancji operatorowych.

Identyfikacja ma na celu uzyskanie możliwie dokładnego matematycznego modelu obiektu sterowania na podstawie posiadanej wiedzy początkowej oraz pomiarów sygnałów wejściowych i wyjściowych uzyskanych, jeżeli to możliwe, w trakcie specjalnie zaplanowanego eksperymentu identyfikacji. Ogólny schemat blokowy eksperymentu przedstawiony jest na rysunku \ref{identyfikacja_schemat}. Eksperyment taki przeprowadza się zwykle na układzie otwartym, jest to jednak możliwe tylko wtedy, gdy układ jest stabilny. Identyfikacja jest możliwa również w układzie zamkniętym\footnote{stosuje się ją w przypadku obiektu niestabilnego, bądź sterowania adaptacyjnego}, wykorzystuje się wówczas układy samonastrajające\footnote{ang. self-tuning systems}, które na bieżąco dopasowują parametry modelu. 

\clearpage
Identyfikację obiektów sterowania najczęściej przeprowadza się poprzez odczyt odpowiednich wartości z ich charakterystyki skokowej (patrz rysunek \ref{identyf}).

\begin{figure}[!h]
	\begin{center}
		\includegraphics[width=12cm]{img/ident}
		\caption{Odczyt parametrów identyfikacji \cite{Brzozka}}
		\label{identyf}
	\end{center}
\end{figure}

Jest to dobre i (przy zachowaniu precyzji obliczeń) dokładne rozwiązanie, ponieważ większość obiektów automatyki można przedstawić jako obiekt inercyjny pierwszego rzędu z opóźnieniem o transmitancji:
\begin{equation}
 K(s) = \frac{k_p \cdot e^{-s \cdot \tau}}{1 + s \cdot T_z} 
\label{eqn:ident1}
\end{equation}

\begin{center}
\begin{tabular}{l l p{13cm} }
Gdzie: & & \\ 
& $K(s)$ & transmitancja obiektu  \\
& $k_p$ & stała proporcjonalności \\
& $\tau$ & wartość odczytana z wykresu \\
& $T_z$ & wartość $T$ lub $T'$ odczytana z wykresu (należy przyjąć tą, która daje lepsze przybliżenie) \\
\end{tabular}
\end{center}

Czasem korzysta się również z transmitancji postaci:
\begin{equation}
 K(s) = \frac{k_p}{(1 + s \cdot T_s)^n} 
\label{eqn:ident2}
\end{equation}
\begin{center}
\begin{tabular}{l l p{13cm} }
Gdzie: & & \\ 
& $K(s)$ & transmitancja obiektu  \\
& $k_p$ & stała proporcjonalności \\
& $T_s$ & wartość $T$ lub $T'$ odczytana z wykresu (należy przyjąć tą, która daje lepsze przybliżenie) \\
& $n$ & rząd obiektu\\
\end{tabular}
\end{center}

\clearpage
Innym sposobem wyznaczenia parametrów obiektu jest wyznaczenie wzmocnienia krytycznego ($ k_{p,kryt} $) oraz czasu oscylacji ($ T_{osc}$) z wykresu w stanie ustalonym (patrz rysunek \ref{identyfosc}). Doświadczenie przeprowadzamy w układzie zamkniętym. Regulator ustawiamy tylko na działanie proporcjonalne i stopniowo zwiększamy parametr $k_p$ od $0$ do wartości krytycznej $ k_{p,kryt} $, przy której można zaobserwować niegasnące oscylacje na wyjściu obiektu (układ znajduje się na granicy stabilności). Z otrzymanego wykresu odczytujemy czas oscylacji $ T_{osc}$ 

\begin{figure}[!h]
	\begin{center}
		\includegraphics[width=12cm]{img/identosc}
		\caption{Odczyt parametrów identyfikacji}
		\label{identyfosc}
	\end{center}
\end{figure}
\clearpage
\subsection{Dobór nastaw regulatora}

Podczas doboru nastaw należy mieć na uwadze:
\begin{itemize}
 \item \textbf{zakres nastaw} - przedział zmienności parametrów $k_p$, $T_i$, $T_{d}$
 \item \textbf{ograniczenie nastaw} - niemożliwość nastawienia dowolnych wartości parametrów, pomimo iż leżą one w dopuszczalnych zakresach
 \item \textbf{zależność nastaw (interakcja)} - niemożność znalezienia pojedynczych elementów w strukturze regulatora, którymi można oddzielnie nastawiać wartości poszczególnych parametrów.
\end{itemize}

Należy również uwzględnić objawy wynikające z nieprawidłowego doboru nastaw. Ich zestawienie znajduje się w tabeli \ref{table:dobor}.
\begin{table}[!h]
 \caption{Objawy nieprawidłowego doboru nastaw regulatora}
 \centering
  \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
 \begin{tabular}{l|l}
 \hline\hline
 Objawy & Przyczyna \\ [0.5ex]
 \hline
  Trwałe oscylacje wielkości regulowanej & $k_p$ i $T_d$ za duże, $T_i$ za małe \\
  Przeregulowanie przy rozruchu & $k_p$ za duże, $T_i$ oraz $T_d$ za małe \\
  Przebieg przy rozruchu aperiodyczny, silnie tłumiony & $k_p$ za małe, $T_i$ za duże \\
  Oscylacje zanikające & $k_p$ za małe, $T_i$/$T_d$ za małe \\ [1ex]
 \hline
 \end{tabular}
 \label{table:dobor}
\end{table}
\subsubsection{Nastawy według Zieglera - Nicholsa}
Algorytm doboru nastaw według Zieglera-Nicholsa jest jednym z najczęściej opisywanych w literaturze. Jest to zestaw opracowanych doświadczalnie i sugerowanych ustawień regulatorów ciągłych. Ich wielkości zależą od wartości parametrów odczytanych z charakterystyk transmitancji obiektu. W wyniku eksperymentów powstały dwie metody Zieglera-Nicholsa, rozwijane i modyfikowane w latach późniejszych. \cite{Lysakowska}
\begin{table}[!h]
 \caption{Nastawy według I metody Zieglera-Nicholsa \cite{Lysakowska}}
 \centering
  \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{c|c|c|c}
 \hline\hline
 Typ Regulatora & $k_p$ & $T_i$ & $T_d$ \\ [0.5ex]
 \hline
 $P$  & $ \frac{T}{\tau} $ & $\infty$ & $0$ \\
 $PI$ & $ \frac{0,9 T}{\tau} $ & $ \frac{\tau}{0,3} $ & $0$ \\
 $PID$ & $ \frac{1,2 T}{\tau} $ & $ 2 \tau $ & $ 0,5 \tau $ \\
 \hline
 \end{tabular}
 \label{table:zn1}
\end{table}
\clearpage

\begin{table}[!h]
 \caption{Nastawy według II metody Zieglera-Nicholsa \cite{Lysakowska}}
 \centering
 \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
 \begin{tabular}{c|c|c|c}
 \hline\hline
 Typ Regulatora & $k_p$ & $T_i$ & $T_d$ \\ [0.5ex]
 \hline
 $P$  & $ \frac{k_{p,kryt}}{2} $ & $\infty$ & $0$ \\
 $PI$ & $ 0,45 k_{p,kryt} $ & $ \frac{T_{osc}}{1,2} $ & $0$ \\
 $PID$ & $ 0,6 k_{p,kryt} $ & $ \frac{T_{osc}}{2} $ & $ \frac{T_{osc}}{} $ \\
 \hline
 \end{tabular}
 \label{table:zn2}
\end{table}

\subsubsection{Nastawy według Cohen-Coona }

\begin{table}[!h]
 \caption{Nastawy według Cohen-Coona \cite{lectures}}
 \centering
 \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
 \begin{tabular}{c|c|c|c}
 \hline\hline
 Typ Regulatora & $k_p$ & $T_i$ & $T_d$ \\ [0.5ex]
 \hline
 $P$   & $ \frac{1}{k_{p}}    \left( \frac{T}{\tau} +0,35 \right) $ & $\infty$ & $0$ \\
 $PI$  & $ \frac{0,9}{k_{p}}  \left( \frac{T}{\tau} +0,92 \right) $ & $ \frac{3,3 \cdot T + 0,3 \cdot \tau }{T + 2,2 \cdot \tau } \tau $ & $0$ \\
 $PID$ & $ \frac{1,24}{k_{p}} \left( \frac{T}{\tau} +0,13 \right) $ & $\infty$  & $0$ \\
 $PD$  & $ \frac{1,35}{k_{p}} \left( \frac{T}{\tau} +0,18 \right) $ & $ \frac{2,5 \cdot T + 0,5 \cdot \tau }{T + 0,61 \cdot \tau } \tau $ & $ \frac{0,37 \cdot T }{T + 0,19 \cdot \tau } \tau $ \\
 \hline
 \end{tabular}
 \label{table:cc}
\end{table}

\subsubsection{Nastawy według Chiena, Hronesa i Reswicka (tzw. CHR)}

\begin{table}[!h]
 \caption{Wybór typu regulatora według Chiena, Hronesa i Reswicka \cite{lectures}}
 \centering
 \begin{tabular}{c|c}
 \hline\hline
 Warunek & Typ Regulatora \\ [0.5ex]
 \hline
 $ R > 10 $ & $P$ \\
 $ 10 < R < 7.5 $ & $PI$ \\
 $ 7.5 < R < 3 $ & $PID$ \\ 
 $ R < 3 $ & regulator wyższego rzędu \\
 \hline
 \end{tabular}
 \label{table:chr1}
\end{table}

Gdzie $ R = \frac{T}{\tau} $.

\begin{table}[!h]
 \caption{Nastawy według Chiena, Hronesa i Reswicka \cite{lectures}}
 \centering
 \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
 \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
 \hline\hline
 Przeregulowanie & \multicolumn{3}{c|}{$0\%$} & \multicolumn{3}{c}{$20\%$} \\ [0.5ex]
 \hline
 Typ Regulatora & $k_p$ & $T_i$ & $T_d$ & $k_p$ & $T_i$ & $T_d$ \\ [0.5ex]
 \hline
 $P$  & $ \frac{0,3}{a} $ & $\infty$ & $0$ & $ \frac{0,7}{a} $ & $\infty$ & $0$ \\
 $PI$ & $ \frac{0,35}{a} $ & $ 1,2 \cdot T $ & $0$ & $ \frac{0,6}{a} $ & $ T $ & $0$ \\
 $PID$ & $ \frac{0,6}{a}$ & $ T $ & $ \frac{\tau}{2} $  & $ \frac{0,95}{a}$ & $ 1,4 \cdot T $ & $ 0,47 \cdot \tau $\\
 \hline
 \end{tabular}
 \label{table:chr}
\end{table}

\clearpage
\section{Inne sposoby regulacji}
Wiele współczesnych urządzeń buduje się z wykorzystaniem tzw. sztucznej inteligencji pozwalającej w przybliżony sposób modelować reguły, naśladujące zachowania człowieka. W układach automatyki spotykamy się z adaptacyjnymi układami sterowania, które na bieżąco przestrajają regulatory dostosowując je do zmiennych parametrów obiektu. Są to jednak dość proste urządzenia w porównaniu z metodami, którymi dysponuje współczesna nauka, takimi jak obliczenia ewolucyjne, sieci neuronowe czy logika rozmyta\footnote{ang. Fuzzy Logic}.

\subsection{Regulatory neuronowe}
\begin{figure}[!h]
	\begin{center}
	    \subfigure[Neuron]{\label{nn_neuron}\includegraphics[width=5.5cm]{img/Neuron_McCullocha-Pittsa}}
    	\subfigure[Uproszczona struktura sieci neuronowej]{\label{nn_struktura}\includegraphics[width=9.5cm]{img/nn_siec}}
		\caption{Sztuczne sieci neuronowe \cite{wiki}}
		\label{nn_budowa}
	\end{center}
\end{figure}

Sieci neuronowe to struktury matematyczne realizujące obliczenia poprzez warstwy elementów zwanych neuronami. Inspiracją do ich struktury (patrz rysunek \ref{nn_budowa}) była budowa naturalnych układów nerwowych. Posiadają one możliwość uczenia się, w wyniku czego mogą być stosowane jako układy przewidujące, w systemach z wieloma wejściami. Zastosowanie sieci neuronowej ma duży wpływ na poprawę parametrów regulacji, co można zaobserwować na rysunku \ref{regulacja_nn}


\begin{figure}[!h]
	\begin{center}
	    \subfigure[Regulator PID]{\label{nn_reg_pid}\includegraphics[width=7.5cm]{img/nn_reg_pid}}
    	\subfigure[Regulator PID z siecią neuronową]{\label{nn_reg_nn}\includegraphics[width=7.5cm]{img/nn_reg_nn}}
		\caption{Wpływ wykorzystania sieci neuronowej na poprawę parametrów regulacji. \cite{nnpid}}
		\label{regulacja_nn}
	\end{center}
\end{figure}

\subsection{Regulatory rozmyte}

Logika rozmyta to logika wielowartościową będąca uogólnieniem logiki dwuwartościowej. Pomiędzy dwa stany $0$ i $1$ logiki klasycznej wprowadza szereg stanów pośrednich, które określają stopień przynależności do elementu do zbioru.

``Logika rozmyta okazała się bardzo przydatna w zastosowaniach inżynierskich, czyli tam, gdzie klasyczna logika klasyfikująca jedynie według kryterium prawda/fałsz nie potrafi skutecznie poradzić sobie z wieloma niejednoznacznościami i sprzecznościami. Znajduje wiele zastosowań, między innymi w elektronicznych systemach sterowania (maszynami, pojazdami i automatami), zadaniach eksploracji danych czy też w budowie systemów ekspertowych.

Metody logiki rozmytej wraz z algorytmami ewolucyjnymi i sieciami neuronowymi stanowią nowoczesne narzędzia do budowy inteligentnych systemów mających zdolności uogólniania wiedzy.'' \cite{wiki}

Przykład zastosowania logiki rozmytej przedstawiony jest na rysunku \ref{Fuzzy_logic_temperature_pl}.
\begin{figure}[!h]
	\begin{center}
		\includegraphics[width=6cm]{img/Fuzzy_logic_temperature_pl}
		\caption{Przykład zastosowania logiki rozmytej \cite{wiki}}
		\label{Fuzzy_logic_temperature_pl}
	\end{center}
\end{figure}

